По простому, УЗО - это прибор, который следит что бы по нулю и фазе шел одинаковый ток.
Если ток не равный, значит есть утечка (неисправный прибор, фен упал в ванну, кто-то схватился за голый провод). Как только обнаруживается утечка, УЗО обесточивает квартиру.
На самом деле все более сложно и расписано в приведенных выше ссылках, но суть работы именно в этом.