Покрасил её первым слоем и ужаснулся — под слоем краски все пятна шпатлёвки, все неоднородности цвета отлично видны
Обратите внимание не на просвечивание (это всё закрасится), а на "разнотекстурность" шпаклёванных и необработанных мест. На ощупь место может быть абсолютно гладким, но если при просмотре под определённым углом контур замазанного места чётко виден (отражённый свет словно бы создаёт "ступеньку" на границе) и вся зашпаклёванная поверхность иначе отражает свет, то даже при нескольких слоях краски зашпаклёванное место будет отличаться от своего окружения. Надо зашлифовать каждую замазанную выбоинку до такого состояния, чтобы не только рука, но и глаз не "спотыкался" на границах шпаклёвки (не в смысле цвета, а в смысле отражения света). Шлифовать можно и сейчас, после первого слоя и грунтовки, ничего страшного. В любом случае первый слой шлифуется, так что где-то больше, где-то меньше - не будет заметно. Но все границы шпаклёвки должны быть полностью нивелированы!